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Las representaciones dinámicas como formas

de visualización de funciones matemáticas

 

Centro Universitario Municipal (CUM)

Caimanera, Guantánamo

(Cuba)

Lic. Angel Deslis Mendoza

Dr. C. Beatriz María San Juan Azze

adeslis@ucp.ho.rimed.cu

 

 

 

 

Resumen

          El artículo trata las representaciones como formas de visualización en la enseñanza de la Matemática. EL autor propone, en particular un método de representación dinámica para favorecer la comprensión de propiedades de las funciones trigonométricas. El método propuesto constituye la posible solución a las insufciencias que se revelan tanto en el orden práctico como teórico. De dicho método se derivan los procedimientos y medios dinámicos que permiten su instrumentación en la práctica. Como novedad, se propone la Rosa Trigonométrica. Este medio posee características distintivas dentro del sistema de medios para la enseñanza y el aprendizaje de conocimientos trigonométricos básicos. La Rosa Trigonométrica posibilita en la práctica, la visualización del comportamiento de propiedades de las funciones trigonométricas sin la presencia de sus gráficos. Esto se convierte en una vía alternativa para el análisis de tales propiedades.

          Palabras clave: Matemática. Enseñanza. Representaciones.

 

 
EFDeportes.com, Revista Digital. Buenos Aires, Año 18, Nº 186, Noviembre de 2013. http://www.efdeportes.com/

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Introducción

    En el ámbito de la investigación, a partir del análisis teórico y práctico del aparato visto de la metodología como ciencia, se infiere que no siempre lo que constituye una regularidad, existe en una relación adecuada entre métodos, procedimientos y medios. Al describir el método de representaciones, se emplean medios que no posibilitan la visualización inmediata de variaciones en determinadas relaciones.

    Los métodos y procedimientos referidos no favorecen la comprensión ni la generalización como habilidades esenciales en la apropiación del conocimiento. Por otra parte, con el desarrollo de las tecnologías y la comunicación, surgen aplicaciones que se emplean como medios en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la trigonometría. Estas aplicaciones ofrecen referentes variables en corto tiempo; pero no se describe el método que sustente de manera adecuada el uso de estos medios.

    En correspondencia con este análisis teórico-práctico se revela la necesidad de formular un método que genere una dinámica favorable para la apropiación de las propiedades de las funciones trigonométricas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en la educación preuniversitaria. Además la necesidad de aportar en un método de representación radica en que es la posible solución a las insuficiencias que se revelan con la aplicación de métodos empíricos y teóricos.

    Este autor propone un método de representación dinámica para favorecer la comprensión de las propiedades de las funciones trigonométricas en la educación preuniversitaria. Dicho método se fundamenta en la contextualización de un sistema de principios didácticos. Este sistema tiene como componente jerárquico, el principio de visualización.

Materiales y métodos

    Para la elaboración de este artículo se emplean como materiales las bibliografías que se corresponden con el tema y que fundamentan desde la teoría los argumentos que se exponen. Entre los métodos se utilizan entrevistas, observaciones participantes y registros de experiencias donde se presenta la relatoría de la aplicación del método de representación dinámica como forma de visualización matemática en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la trigonometría

Resultados del trabajo

    Las representaciones, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, suelen emplearse en forma estática o dinámica. La forma estática es la que más se utiliza, en tanto la forma dinámica es la menos vista. Ambas representaciones constituyen formas de visualización.

    La visualización como principio de la Psicología y la Didáctica se fundamenta en las leyes que direccionan el desarrollo correlativo de la abstracción, la generalización y la concreción en los estudiantes. Permite emplear el conocimiento sensorial, acumular ideas sobre objetos y fenómenos concretos, con la finalidad de obtener conocimientos teóricos generalizados y perfeccionarlos.

    En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría y la trigonometría, en particular de las funciones trigonométricas, se requiere de la visualización. Con esta se activan, estimulan y desarrollan los procesos lógicos del pensamiento para obtener el nuevo conocimiento. Además permite al alumno reflexionar, profundizar, definir, valorar, argumentar y conjeturar.

    La visualización facilita el aprendizaje de conceptos básicos trigonométricos y sus aplicaciones a situaciones de aprendizaje y a la resolución de problemas. Por otra parte permite exigir del alumno la búsqueda y exploración de relaciones, propiedades y formas de representación de las funciones trigonométricas, aún sin la presencia de sus gráficos.

    Se contextualizan los principios didácticos de la comprensión, de la solidez de la asimilación de los conocimientos y de visualización. Estos principios interactúan entre sí en relaciones de subordinación y de coordinación. En particular, del principio de visualización se deriva un método de representación dinámica para favorecer la comprensión de las propiedades de las funciones trigonométricas.

    Respecto a la concepción del método de enseñanza y de aprendizaje se acopian criterios de algunos autores. De estos autores se tienen en cuenta los criterios de KLINGBERG y col. (1973), DANILOV y SKATKIN (1978) y BERMÚDEZ y RODRÍGUEZ (1996). Según criterios de KLINGBERG y col. (1973), el método de enseñanza es el camino que sigue el maestro para dirigir y controlar el proceso de aprendizaje o, lo que es lo mismo, el proceso planificado y sistemático de apropiación de la materia de enseñanza. A manera de complementar la definición, los autores precisan además:

  • El método de enseñanza es también una forma de servir de mediador entre los alumnos y la materia de enseñanza.

  • El nexo entre método de enseñanza y método científico es el aspecto lógico del primero.

  • Los métodos de enseñanza además de estar determinados por factores lógicos, están determinados por factores psicológicos.

    DANILOV y SKATKIN (1978) consideran que todo método es un sistema de acciones sucesivas y conscientes del hombre, que tiende a alcanzar un resultado que corresponde al objetivo trazado. En tal aspecto, respecto a la relación existente entre método y fin (objetivo), dichos autores plantean que si el fin no es alcanzado, el método fue, por consiguiente, inadecuado para el fin perseguido, o sea, es incorrectamente trazado o el método incorrectamente aplicado.

    Según lo investigado, de los principios didácticos, se derivan en el plano teórico y en el plano práctico los métodos, los procedimientos y los medios de enseñanza. El método es considerado como categoría metodológica rectora. Así se define, según la etimología de la palabra, en BERMÚDEZ y RODRÍGUEZ (1996), como el camino del pensamiento humano para alcanzar un determinado objetivo de su conocimiento o modo de reproducir lo estudiado.

    Los autores referidos, realizan un análisis sobre la estructura y funcionamiento del método. Además plantean como premisas: la finalidad en la creación del método, la elaboración, el uso, la relación de lo objetivo y lo subjetivo; y la relación de lo interno y lo externo.

    Cuando se habla de método, se está en presencia de una representación abstracta para el logro de un fin determinado. En tal sentido, es el maestro quien se vale de este para tal logro. Sin embargo, no es correcto pensar que con el método presentado por el maestro, el alumno logre su instrumentación en el plano práctico-metodológico.

    Por estas razones, del método se derivan tanto los procedimientos como los medios. Estos a su vez, constituyen en la práctica el modo de instrumentación del método para que el alumno logre el objetivo propuesto. Según BERMÚDEZ y RODRÍGUEZ (1996), el método es la categoría metodológica rectora y los procedimientos y medios, categorías subordinadas a éste.

    Desde el punto de vista filosófico, el conocimiento racional exige la trascendencia del nivel contemplativo, a un nivel superior aplicativo. Esto se corresponde con el camino dialéctico que recorre el conocimiento planteado por Lenin quien apuntaba: “…De la contemplación viva al pensamiento abstracto y de éste a la práctica”.

    En el nivel aplicativo, se reconoce el establecimiento de relaciones por parte del sujeto que aplica. De otra parte, se reconoce la reestructuración de la experiencia personal de carácter cognitiva y/o instrumental. Además, la aplicación puede estar dirigida a producir o reproducir algo.

    Atendiendo a los niveles de aplicación, los métodos se consideran como reproductivos y productivos. La aplicación reproductiva, se manifiesta cuando la situación planteada es nueva y el alumno reproduce procedimientos ya elaborados. En tanto la aplicación productiva requiere de la construcción, por parte del sujeto, de los procedimientos empleados.

    En muchas clasificaciones de los métodos de enseñanza, se observa que están desprovistas de los procedimientos que permitan su instrumentación. Esto trae como consecuencia, la existencia de divergencias en criterios asumidos para la determinación del contenido de los métodos.

    Según estos autores, la finalidad del método, pudiese ser un criterio lícito y confiable en la diferenciación de un método respecto a otro. De esta manera, los métodos de aprendizaje pueden diferenciarse en métodos reproductivos y métodos productivos, en dependencia de la finalidad que el alumno persigue con la utilización del método.

    El método de representación dinámica tiene sus antecedentes según CASANO (2008), en la ingeniería civil respecto al análisis de estructuras bajo acciones dinámicas. Por otra parte según GAMBOA (2007), en el uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática, a partir de la creación de software dinámicos. En este contexto, se restringe lo que representa una dinámica, puesto que se explicitan sólo la representación del concepto como tablas y gráficos obtenidos posterior a la introducción de determinados parámetros.

    Para este autor, en una representación dinámica como método, en el ámbito de las funciones trigonométricas; el alumno debe visualizar una variedad de relaciones antes de interactuar con el contenido. Tales relaciones deben desentrañar el origen de las funciones trigonométricas desde la circunferencia trigonométrica, las que favorecen la puesta en práctica de una serie de razonamientos que permitan resolver situaciones de aprendizaje.

    Para los intereses de esta investigación, el método de representación dinámica tiene como bases para su instrumentación, el procedimiento de la visualización por un lado y un procedimiento general heurístico, de otra parte. La visualización es entendida tanto procedimiento como principio y método.

    En la rama de la Geometría, se emplean representaciones geométricas básicas como el punto, la recta y el plano con el propósito de visualizar objetos de la realidad. Además es posible la representación de estos elementos básicos y sus combinaciones en un sistema de coordenadas cartesianas.

    Las funciones matemáticas en general, son representaciones simbólicas que reflejan el comportamiento de fenómenos físicos de la realidad. A cada función se le asocia una representación gráfica de lo visual en ese fenómeno y permite el análisis del comportamiento de las propiedades.

    Aún así, se revelan insuficiencias en la comprensión de las propiedades de funciones. En este sentido se propone considerar un sistema de medios de enseñanza que fortalezcan el proceso de visualización, en un nivel que exige del estudiante mayor abstracción y generalización.

    Resulta necesario definir las nuevas categorías que se introducen. Como resultado de la sistematización de las definiciones tratadas por otros autores, se considera:

  • Representación: la imagen de un objeto o fenómeno de la realidad, expresada mediante palabras o símbolos, como resultado de la producción y conservación en la conciencia del hombre. La representación existe como forma de abstracción y es independiente de la existencia real del objeto o fenómeno.

  • Representación dinámica: aquella representación que posee o se le imprime un movimiento, que provoca un cambio de posición del objeto o fenómeno representado respecto a su posición inicial.

  • Método: el camino o la vía de la cual se apropia el sujeto para alcanzar un determinado objetivo de su conocimiento, o modo de reproducir el objeto estudiado en el pensamiento.

  • Método de enseñanza: el camino o la vía que sigue el maestro para lograr un objetivo determinado en el proceso de enseñanza, que puede ser aplicable en una o varias asignaturas afines.

  • Método de representación dinámica de la relación gráfico-propiedades de las funciones trigonométricas: el método de enseñanza que emplea el maestro para favorecer el aprendizaje de contenidos básicos trigonométricos, a partir de la visualización de las variaciones en el objeto matemático en el espacio y el tiempo; que puede incidir en el desarrollo de procesos lógicos del pensamiento, al resolver tareas en el ámbito del estudio de estas funciones.

    El objeto matemático que refiere la definición, a consideración del autor lo conforman las funciones trigonométricas. Es en estas funciones donde aún persisten las insuficiencias respecto a la comprensión de sus propiedades. De tal manera, queda explícito el fin del método: el aprendizaje de los contenidos concernientes a funciones trigonométricas y una vez más se revela la estrecha relación entre enseñanza y aprendizaje.

    A partir del método es posible derivar tanto los procedimientos como los medios. Estos a su vez, concretan en la práctica la implementación del método, en particular el método de representación dinámica. Como sistema de procedimientos que se manifiestan en la práctica se asume el conformado por el de visualización y el general heurístico. Ambos procedimientos, según el criterio de otros autores, son al propio tiempo métodos y/o principios de la didáctica.

    El procedimiento general heurístico permite conjeturar sobre el comportamiento de propiedades de las funciones trigonométricas. En este caso, se puede accionar con ayuda de las representaciones gráficas estáticas y también con el uso de los medios dinámicos derivados del método de representación dinámica.

    En Conferencias sobre metodología de la enseñanza de la matemática (JUNK, 1979) aparece una conferencia dedicada al tratamiento de las clases de funciones. Además, se expone de manera clara que el objetivo esencial es que el alumno sea capaz de representar gráficamente las funciones y encontrar las características de funciones de determinadas clases.

    En el material aparecen sucesiones de indicaciones algorítmicas para el tratamiento de diferentes funciones. Estas indicaciones sirven como modelo para las sucesiones de indicaciones contenidas en el procedimiento general heurístico que se pretende introducir durante el proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones trigonométricas.

    En particular se pretende establecer un procedimiento general heurístico que permita el descubrimiento, por parte del propio alumno, de la existencia de la relación entre el gráfico y las propiedades de las funciones trigonométricas. Tal procedimiento se constituye en un proceso analítico que prevé una vía deductiva y otra inductiva para el análisis de cada propiedad.

    Lo expuesto por PÉREZ y col. (1989) en Metodología de la Investigación Educativa puede ser útil para esclarecer el procedimiento heurístico que se pretende introducir. Tales autores respecto al método inductivo-deductivo, ofrecen las definiciones siguientes:

  • Inducción: Forma de razonamiento por medio del cual se pasa del conocimiento de casos particulares a un conocimiento más general que refleja lo que hay de común en los fenómenos individuales. En este método se pone de manifiesto la relación de lo particular a lo general como categoría filosófica.

  • Deducción: Forma de razonamiento mediante el cual se pasa de un conocimiento general a otro de menor nivel de generalidad. El razonamiento deductivo toma como premisa el conocimiento de lo general y es así como nos puede llevar a comprender lo particular, en el que existe lo general.

    La inducción y la deducción se complementan mutuamente durante el proceso de desarrollo del conocimiento. Al respecto se plantea que el papel de la inducción y la deducción en el conocimiento se explica por el enlace objetivo de lo singular y lo general en la realidad misma, por las modificaciones de tales contrarios al transformarse unos en otros.

    El procedimiento en sí mismo contiene una sucesión de indicaciones para cada vía considerada. A causa de la variedad de funciones por una parte y de propiedades por la otra, la sucesión de indicaciones no resulta coincidente para todas las propiedades que se analicen. Por este motivo el procedimiento no es algorítmico.

    A modo de ejemplo, se describen las sucesiones de indicaciones para el análisis de la propiedad referida a la paridad de la función coseno y su relación con el gráfico. Además se propone el análisis apoyado en un medio de enseñanza no tradicional propuesto por el autor que dinamiza y visualiza el análisis de propiedades en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Ejemplo 1. Análisis de la paridad de la función coseno

Sucesión de indicaciones

I Vía deductiva

  • Orientación sobre el concepto de paridad que aparece para poder identificar la propiedad.

  • Expresarlo en forma simbólica : f (x) = f (-x)

  • Evaluar para casos particulares

  • Comparar resultados

  • Arribar a conclusiones

  • Construir el esbozo del gráfico de la función analizada

II Vía inductiva:

  • A partir de gráficos conocidos, trazar en cada uno, una recta paralela al eje X que corte a dichos gráficos.

  • Comprobar si existen puntos de intersección entre el gráfico y la recta trazada, que sean simétricos respecto al eje Y.

  • Comparar las alturas de estos puntos y decidir si están o no, en un mismo semiplano.

  • Arribar a conclusiones

  • Identificar el tipo de paridad

  • Decidir si el gráfico de la función coseno es par

    Las sucesiones de indicaciones presentadas en cada vía utilizada se corresponden con las definiciones dadas para la inducción y la deducción. En consecuencia se evidencia en los planos teórico y práctico, la relación dialéctica entre lo singular y lo general en su doble sentido.

    Respecto al medio de enseñanza no tradicional, se propone su uso para el análisis de la paridad de la función coseno, mediante una sucesión de indicaciones.

I Vía inductiva:

  • Orientación sobre el concepto de paridad para identificar la propiedad.

  • Expresarlo en forma simbólica

  • Evaluar para casos particulares, preferentemente en ángulos notables.

    En esta indicación se puede escoger por ejemplo: y su simétrico

    Al observar en el medio de enseñanza, el alumno debe percatarse que estos valores son simétricos respecto al eje X y la cuerda determinada por los puntos de intersección con la circunferencia, corta a la escala del coseno en exactamente la mitad, entonces:

  • Comparar resultados: f (x) = f (- x)

  • Arribar a conclusiones

  • Esbozar su gráfico

    Durante el análisis de la función coseno, a diferencia de la función seno; en el círculo trigonométrico los ejes coordenados y el círculo rotan 90° en sentido positivo por lo que dichos ejes se intercambian.

    Como resultado de la rotación de los ejes, P y P´ son simétricos respecto al eje X. Cuando se analiza la simetría del gráfico para la función coseno en el sistema de coordenadas convencional, se refiere al eje Y como eje de simetría. Por esta razón se genera una contradicción evidente respecto a lo que se analiza cuando se emplea el medio propuesto.

    Para la función coseno, el simétrico de un ángulo del I Cuadrante está en el IV Cuadrante y el coseno de éste es también positivo. De manera que el orden de los cuadrantes para esta función en el sistema de coordenadas es según la sucesión: …IV, I, II, III…

    El gráfico correspondiente a la función coseno es simétrico respecto al eje X y no al eje Y. Estas consideraciones pueden servir para la reflexión de los docentes que imparten trigonometría en la educación preuniversitaria.

    Esta investigación emplea como formas prácticas de visualización, medios de enseñanza elaborados por el autor y medios existentes en las nuevas tecnologías. Dichos medios cumplen en el proceso de enseñanza-aprendizaje las funciones pedagógicas, filosóficas y psicológicas.

    El sistema medios de enseñanza que propone el autor lo conforman: la Rosa trigonométrica como medio jerárquico no tradicional dada la multiplicidad de posibilidades de empleo en la unidad trigonometría, la plantilla múltiple para el trazado de funciones trigonométricas normales y el curvígrafo rústico para el trazado cualquier función trigonométrica a partir del ploteo de puntos.

    Como medios existentes en las nuevas tecnologías, se pueden emplear durante el trabajo independiente los simuladores de los gráficos de las funciones trigonométricas. Además se puede utilizar una simulación en flash de la Rosa trigonométrica.

    La Rosa Trigonométrica se considera como medio jerárquico en este sistema por sus múltiples aplicaciones en el transcurso de toda la sub unidad. Además con la Rosa es posible el cálculo de valores trigonométricos que permiten la ubicación de los puntos pertenecientes a una función en el sistema de coordenadas. De esta manera, es posible la construcción de la plantilla para funciones trigonométricas normales con el uso del curvígrafo.

    El curvígrafo facilita el trazado de cualquier función trigonométrica a partir del ploteo de puntos. La Rosa también permite el análisis de las propiedades de estas funciones y además, fundamentar el comportamiento de éstas en el gráfico correspondiente. La nueva tecnología permite la simulación de gráficos a partir de parámetros establecidos.

Ventajas del medio no tradicional (la Rosa Trigonométrica)

  • Es un medio que puede ser construido tanto por los alumnos como por los docentes, con materiales de bajo costo.

  • Puede ser empleado en su forma natural en las clases de trigonometría y en su forma digitalizada como flash en los laboratorios de computación.

  • Sirve como complemento para las clases presenciales en ausencia de las nuevas tecnologías.

  • Es un medio que puede ser manipulado por alumnos y docentes de manera tal que el alumno se convierte en agente activo de su propio conocimiento.

  • Debido a sus características distintivas, puede ser empleado durante la retroalimentación y sistematización de los contenidos trigonométricos que preceden a las funciones trigonométricas, en el desarrollo de los contenidos sobre funciones trigonométricas y en la sistematización general de estos conocimientos dentro y fuera del ámbito de la clase.

  • Permite la modelación y visualización de las propiedades de las funciones trigonométricas según las variaciones de las posiciones de puntos en la circunferencia trigonométrica.

    El sistema de procedimientos y medios de enseñanza dinámicos, permiten dinamizar el método de representación propuesto. El accionar de estos y su interrelación favorece en la práctica, la comprensión de las propiedades de las funciones trigonométricas.

    La Rosa Trigonométrica, creada por el autor en 1991 y diseñada por el técnico en computación Magdiel González (2007)

Bibliografía

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  • _____________ (2008). La Rosa trigonométrica como medio para la enseñanza de la Trigonometría en la educación preuniversitaria. Publicado en el II Taller Nacional de Proyectos de Investigación, ISP José de la Luz y Caballero. Holguín.Cuba.

  • Gamboa, K. (2007). Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática. Disponible en: http://www.cimm.ucr.ac.cr/cuadernos/cuaderno3/cuaderno3_c1.pdf (Fecha de acceso: 23-03-2013)

  • Klingberg, Lothar ; Paul, Hans-Georg; Wenge, Horst y Winke, Gunter (1978). Introducción a la Didáctica General. Editorial Progreso. Moscú, pág. 28, 29.

  • Pérez, Gastón; Nacedo de León, Irma y García, Miriam (1996). Metodología de la Investigación Educacional. Primera parte. Pueblo y Educación. Ciudad de La Habana. Cuba, pág. 72, 73.

  • Rodríguez, Flor; Montiel, Gisela y Cantoral, Ricardo. (2008). Visualization in Iterative Processes. Centro de Educación en Matemática Educativa. Universidad Autónoma de Guerrero. México. Material digitalizado en inglés, págs. 1-9.

  • Schoenwald, Justin (1984). Trigonometry visualizer and Method of making same. Registrado en Oficina Nacional de Invenciones Información Técnica y Marcas. Ciudad de La Habana. Cuba.

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