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Introducción

Del dilema del prisionero al dilema del entrenador

    Tanto en los despachos como en los banquillos, igual que en la vida moderna, se están tomando decisiones regularmente. Como dicen Dixit y Nalebuff⁽¹⁾, en estos casos "estamos rodeados de personas activas que toman decisiones las cuales interactúan con las nuestras". Por ejemplo, cuando se negocia un fichaje, hay varias partes en litigio que tratan de que la jugada les salga lo mejor posible. Es en la toma de decisiones cuando la teoría de juegos nos puede ayudar. Pero... ¿Qué es? ¿Cómo funciona? Para explicarlo, pensemos en una partida de ajedrez: "si yo hago esto, entonces él hará lo otro pero, si muevo esta otra pieza entonces él..." Una vez examinadas todas las posibles situaciones, decidimos y hacemos una jugada. Básicamente, se trata de hacer algo parecido.

    Dentro de la teoría de juegos, el dilema del prisionero es uno de esos ejemplos que no faltan nunca en libro de la disciplina. Resumiendo la historia este caso es así: la policía coge a dos ladrones pero le faltan pruebas contundentes. Como los tiene incomunicados les dice que, si confiesan, serán benevolentes con ellos. Las penas según la situación se resumen en el cuadro (suponiendo que los números son los años de cárcel que le caería a cada uno, y en negrita los años que le caerían al preso 1):

    Si los dos se callan sería lo ideal en conjunto, ya que le caería un año a cada uno por un delito sin importancia (por no hablar de evitar el estigma de "soplón", que ya se sale de lo que pretendemos). Pero no pueden comunicarse y si uno hace de chivato y el otro no, entonces sólo le caen 6 meses. ¿Cómo acabará la jugada? Veamos qué piensa el Preso 1: "si el Preso 2 confiesa, me conviene confesar (3 años frente a 6); y si el número 2 no confiesa, también es lo adecuado (6 meses frente a un año). Es decir, haga lo que haga el otro, me conviene confesar." A esto se le llama una estrategia dominante ya que, hagan lo que hagan los demás, yo siempre salgo mejor o igual parado con la misma forma de actuar en todos los casos. Con el Preso 2 pasa algo parecido por lo que, si actúan racionalmente, ambos terminarán cumpliendo una pena de tres años.

    Pues bien, en este ejemplo subyace el mismo tipo de razonamiento que hace un entrenador de fútbol de alto nivel en la actualidad. Se trata de la eterna lucha entre Bilardistas y Menotistas, resultadistas contra amantes del espectáculo... Primero expliquemos el cuadro siguiente. La primera letra de la primera columna significa el tipo de juego que hago (B-Bilardista o M-Menotista) y, la segunda, con qué tipo de rival me enfrento. Por ejemplo, en la tercera combinación uno sería un Bilardista que juega ante un Menotista. El cuadro expresa el tanto por ciento de posibilidades de que tengo de ganar, empatar o perder en un enfrentamiento de este tipo (alguien partidario de otras teorías estará en desacuerdo, pero la realidad parece estar más conforme con estos números que con otros).

    Así y, teniendo en cuenta que se computa una victoria de tres puntos y un empate de uno, saldría una media de puntos por enfrentamiento jugado (unos beneficios esperados, una tabla de ganancias⁽²⁾) entre las dos concepciones correspondientes como ésta:

    Vamos a suponer que soy un equipo modesto y juego en una Liga donde todos juegan con la misma concepción los 38 partidos, y yo debo elegir si ser la "oveja negra" o no y salirme de la norma, pensando exclusivamente en conseguir los 43 puntos que se dice que dan la salvación. Entonces quedaría el siguiente cuadro de ganancias (puntos conseguidos por temporada):

    Es conclusión, si juego en una liga bilardista, me interesa jugar bilardista (45 puntos, 2 por encima de la salvación frente a 41, dos por debajo del mínimo). Y si juego en una liga menotista, con mi táctica conservadora voy a conseguir hacer una temporada sin pasar ningún agobio. Por lo tanto, me interesa más un tipo de juego bilardista. Pero mis rivales (o al menos los que sean parecidos a mí) también razonarán de igual manera, por lo que acabaremos en una liga de equipos correosos y disciplinados. Como subrayábamos antes, las cifras pueden cambiarse pero, siendo sinceros, la situación actual se antoja más como una situación de este estilo. ¿Es esto lo ideal "socialmente" para un público que a ver espectáculo? Si tomamos una medida del buen fútbol los puntos conseguidos por los equipos en conjunto vemos que no, que el mejor resultado global lo dan los enfrentamientos entre menotistas. De hecho, se espera lograr una clasificación desahogada y el público sale más satisfecho.

    En el baloncesto tuvieron una situación similar cuando apareció el llamado "basket-control", que comenzó su época dorada cuando, con Boyidar Mallkovich al frente el Limoges, un clásico europeo que había ganado dos Korac y una Recopa en los '80, pero que no se había consagrado entre la flor y nata ganando la Copa de Europa o la Liga Europea, se impuso en 1993 al Benetton de Treviso por 59-55, el tanteo más bajo en conjunto que jamás se había dado en un partido de la final de esta competición. Este tipo de juego lo caracterizaban, sobre todo, los ataques posicionales al límite del tiempo permitido, lo que ralentizaba el juego, perdiendo en espectacularidad. Al final, la disminución del tiempo de posesión, que pasó de 30 a 24 segundos, palió en buena parte esta situación. Aunque, como se vio con Grecia en el último Mundobasket de Japón, el basket-control ha dejado herencia, ya no tiene la hegemonía de la que gozó a mediados de los '90 y, en la Euroliga ULEB, actual máxima competición europea de referencia, los tanteadores de las finales han sido más generosos en puntos en el nuevo siglo.

Jugada estratégica en el fichaje de un jugador: el caso Reyes. El caso Reyes frente al caso Carlos Jiménez

    El fichaje del futbolista andaluz del Arsenal, José Antonio Reyes, por el Real Madrid, dio para muchas declaraciones detrás de las que, en muchas ocasiones, se oculta una intención bastante más concreta. En este caso, hubo una circunstancia que añadió el punto particular al asunto. Y era que el equipo londinense tenía que jugar la fase previa de la Liga de Campeones. Si lo hacía, el Madrid ya no podría utilizarlo en esta competición que, en principio, siempre es la prioridad para los merengues. Esto, unido al hecho de comprar y no comprar, nos daba cuatro situaciones que cada equipo ordenaría según sus preferencias.

    En principio, parecía claro que el Madrid tenía interés en comprar, pero no a toda costa y que el Arsenal también quería venderlo, más de lo que aparentaba. Así, para el Arsenal lo mejor era que pudiera utilizarlo en la previa de la "Champions" y, posteriormente, venderlo (lo numeraremos como 1). Como quería venderlo, lo segundo era que no jugara y, al menos, venderlo. El orden de las dos últimas puede prestarse a duda, pero justificaremos nuestra elección. A primera vista, parece que el argumento "ya que no lo he vendido, ha jugado", se impondría al "además de que no lo he vendido, no ha jugado" pero aquí hay un dato importante: Reyes quería irse. Si el Arsenal lo utilizaba, podría interpretarlo como un boicot a su deseo, y se quedaría a disgusto en el club, con lo cual los problemas estaban cantados. Mientras que si no lo utilizaba, la responsabilidad de que no se hubiera llevado a efecto el traspaso se traspasaba, en su mayor parte, al Madrid. Por lo tanto, casi era preferible que no jugara aunque luego no se vendiera.

    El Madrid lo tenía más claro. Lo peor era que jugara la Champions y acabara comprándolo, como veremos después, porque era un gasto grande y se convertía en un fichaje "incompleto". En el lado contrario, lo mejor era que no jugara y poder comprarlo con total disponibilidad para jugar. Pero la segunda mejor opción era que jugara y no lo comprara porque, así, tenía la excusa de que el hecho de no poder utilizarlo en la Liga de Campeones era demasiado inconveniente. Además, se podía vender claramente como un gesto hostil del Arsenal, que se negaba a negociar. También, porque si no jugaba y finalmente el Madrid no lo compraba, la directiva quedaba en mala situación ante la afición, tras haber dado tanto "la murga" con su fichaje. En definitiva, quedaba un cuadro como éste:

    Aquí es donde la situación varía con respecto al caso que vimos del entrenador. Lo mejor que puede hacer cada uno varía según lo que haga el otro o, dicho en otros términos, ninguno tiene una estrategia dominante. Y aquí es cuando el Madrid hizo una jugada estratégica: tenía claro que, si jugaba, no lo compraba (era su peor preferencia), y así lo declaró en público. Visto lo que pasaba, la amenaza era creíble (incluso lógica en cierto modo), con lo cual se "eliminaba" el primer cuadrante. Así, si el Arsenal utilizaba a Reyes se encontraría con la peor opción de las cuatro: que, estando interesando en vender, se iba a quedar con él y además "mosqueado", porque habían sido los gunners quienes habían cerrado las puertas a cualquier arreglo. Con este condicionante, debía apostar porque no jugara, y fue lo que pasó. Reyes estuvo en el banquillo (quizá una manera de disimular para no aparentar debilidad negociadora o no mostrar demasiado descaradamente las cartas), pero no jugó. En esta situación, el acuerdo de traspaso era lo mejor y, aunque tardó lo suyo, al final se ha consumado. El Madrid se ha salido con su mejor opción y el Arsenal ha quedado bastante bien parado, logrando además a un supuesto sustituto goleador como es el brasileño Julio Baptista.

Comparación con el caso Carlos Jiménez

    Un equipo como el Madrid, que siempre anda fichando, da para mucho, incluso en su sección de baloncesto. Un año antes, aproximadamente, de los hechos mencionados, se produjo una situación similar con el intento de fichaje del jugador de otro club madrileño, el Estudiantes, del ala Carlos Jiménez. Pero aquí había una diferencia sustancial. Los colegiales no querían venderlo. O el Madrid se gastaba millones y pagaba la cláusula, o no había trato. Jugadores como Alberto Herreros o Felipe Reyes ya habían seguido este camino, y los del Ramiro de Maetzu habían llegado al colmo de su paciencia. Además, la afición no toleraría nada bien que la situación se repitiera. Aquí el problema era que el inicio de la Liga se acercaba. Carlos Jiménez presionaba pero no consiguió nada. ¿Por qué? En este caso, el Estudiantes tenía una estrategia dominante, no vender, y la apuró hasta el máximo. El cuadro de ganancias-preferencias estaba así en esta ocasión:

    Si el Madrid hubiera ejercido el mismo tipo de jugada, al Estudiantes le seguía quedando su mejor opción, y además se la servían en bandeja. Al final, el Madrid no se rascó el bolsillo y siguió en Estudiantes.

La aplicación de estrategias mixtas en la defensa de las situaciones estándar del futbolsala

    En la vida, no todo es blanco o negro. A veces, se toman decisiones en "gris" que, haciendo una analogía con la teoría de juegos, es cuando aparecen las estrategias mixtas. Un ejemplo es el que da título a estas líneas. Un equipo está preocupado por defender a otro que tiene un gran rematador, llamado Lenísio, un "futsalista" que es especialista en jugadas ensayadas. De sus estudios del rival, tiene una tabla como la siguiente en este tipo de jugadas, según el tipo de defensa que se ejerce y quién remata, si Lenísio u otro jugador, analizando las probabilidades de que acabe en remate la acción según los casos.

    Además, sabe que la mitad de las veces que Lenísio logra rematar, la jugada acaba en gol pero, si lo hace un compañero, la eficacia se reduce a la mitad y sólo marcan una de cada cuatro veces que rematan.

    Para establecer la estrategia adecuada, el entrenador del equipo defensor valora el gol como un premio de 10 para los atacantes siendo la puntuación para ellos de 0; y a la inversa en caso de que no sea gol. Según esto, calculando las ganancias esperadas el cuadro de puntuación obtenida quedaría así:

(* Se calcularía 3,5 = 0,7*0,5*10 y 6,5 = 0,7*0,5*10+0,3*10; etc.
Al final, como se puede ver, ambos equipos se reparten los 10 en cada caso)

    Ningún equipo tiene una estrategia que domine, con lo cual en principio no se podría utilizar exclusivamente un tipo de "estrategia". ¿Cómo encontraríamos un equilibrio, una solución para darle este entrenador? Supongamos que damos una probabilidad "p" de que el equipo atacante haga la jugada para Lenísio y (1-p) de que no sea así. Entonces las ganancias esperadas del defensor en cada caso serán:

Defendiendo en zona: 6,5 p + 9 (1-p)
Defendiendo individual: 8,75 p + 8,5 (1-p)
Mientras en el caso del atacante:
    Jugando para Lenísio: 3,5 q + 1,25 (1-q)
    Jugando para otro: q + 1,5 (1-q)

    Igualando en ambos casos y resolviendo, tendríamos que el equilibrio p = 2/11 = 0,18 y q = 1/11 = 0,09. Es decir, estadísticamente, la defensa debería practicar defensa individual un 91% de las veces. Esto debería hacerse de forma aleatoria ¿cómo? Lo ideal sería tener un dado de once caras, lanzarlo en cada ocasión y, si saliera 1, hacía zona y, en cualquier otro caso, defensa individual. Pero, a efectos prácticos y, tomándonos alguna licencia, lo que el entrenador puede interpretar es que debería defender en individual pero cambiando alguna vez suelta a zona, para "despistar" o "sorprender" al contrario.

    En cuanto al ataque y, a pesar de que Lenísio es el más efectivo, no deberá cargarse el peso de la estrategia sobre él (y aleatoriamente utilizarlo sólo un 18% de las veces). Esto se puede comprender mejor si se piensa que los equipos rivales van a prestar una especial atención sobre él, lo que facilitará los saques sobre sus compañeros. Pero ¡ojo!, estadísticamente no podemos extraer la conclusión de que hay que guardarlo para jugadas clave, porque esto supondría estar utilizando un mecanismo de actuación diferente.

    Si combináramos ambos puntos, sería algo así como en el baloncesto, cuando se juega contra la selección alemana: hay estar atentos (defender individual, en nuestro caso) pero no obsesionarse con Dirk Nowitzki porque es un anotador, y te va a meter un mínimo de puntos hagas lo que hagas de forma que, si centras toda tu atención en él, los puntos de los compañeros pueden compensar sobradamente ese exceso de atención sobre el jugador de los Dallas Mavericks (simplificando, dejarles pasar de unas ganancias de 1,25 a 1,5, según nuestra tabla).

Notas

1. Dixit A. y Nalebuff, B. "Pensar estratégicamente". Antoni Bosch, 1991.

2. Estos se calcularían multiplicando la posibilidad de triunfo por los tres puntos de la victoria, a los que habría que sumar el porcentaje de posibilidades de empatar multiplicado por un punto que da la igualada.

Bibliografía

• Dixit A. y Nalebuff, B.: "Pensar estratégicamente". Antoni Bosch, 1991.

• Santos, Nieto, Alberto Muñoz, Sancho y Herrero de Egaña. Master en Economía Aplicada de la UNED. "Tema 4: Teoría de Juegos".

• Gibbons, R. "Un primer curso de teoría de juegos". Antoni Bosch, 1997.

• Poundstone, W. "El dilema del prisionero". Alianza Editorial, 1995.

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revista digital · Año 11 · N° 103 | Buenos Aires, Diciembre 2006   © 1997-2006 Derechos reservados